[Dark Jedi]

Олимпиаду завалил. Решил в лучшем случае четыре задачи из пяти. Но в решении второй половины четвертой задачи я очень сильно сомневаюсь, так что вряд ли будет больше семи баллов. Ну, семи с половиной с учетом подстраховочного, полученного на последнем предварительном туре. Все одно - скорее всего, теперь придется сдавать на общих основаниях.



Разве что мне все-таки повезло... Вопрос к знающим людям: может ли окружность, находящаяся "внутри" гиперболы, пересекать ее только в одной точке? Я решил, что либо в двух, либо в трех, либо ни в одной.

Comments

[Mrrl]

"внутри" это как? Когда для всех точек окружности, например, x>0 и x*y>=1? Тогда она может только касаться гиперболы - в одной или двух точках. А вообще может быть от нуля до четырех точек пересечения.

[Dimmy]

Dark Jedi

Интуитивно - почему нет? Получаем уравнение какого-нить там третьего-четвёртого порядка... сейчас:

sqrt(a^2 - x^2) + b = 1/x (сдвигаем только окружность, гипербола сидит на месте). Возводим в квадрат:

a^2 - x^2 + b^2 - 2*b*sqrt(a^2 - x^2) = 1/x^2

...если хотим, преобразуем дальше до состояния офигения, а можем решить так: всё равно перед нами полином, который (в зависимости от a, b) имеет как минимум одно решение. Может иметь и одно, отчего бы и нет?

[Mrrl]

Если одно, то кратное. Вообще, берем точку на гиперболе, считаем радиус кривизны и строим касающуюся окружность меньше этого радиуса.

[Dark Jedi]

Криво я объяснил... В общем, выглядит это так: есть у нас гипербола y=2/x и окружность (x-a)^2+(y-a)^2=R^2, a - параметр. Рассматривается только ветвь гиперболы, находящаяся в третьей четверти.



Вот если окружность находится "снаружи" гиперболы (т.е. левее и выше на графике), тогда я сообразил, что возможно три случая: 1) отсутствие пересечений; 2) касание; 3) два симметричных относительно y=x корня. А если "внутри" (т.е. левее и ниже)? Я даже монетку достал, чтобы построить, и решил, что возможно три варианта: 1) нет пересечений; 2) два симметричных корня; 3) два симметричных корня + касание. Разве не так?

[Dark Jedi]

Mrrl

Dimmy

Эти методы для меня как-то сложноваты...

[Mrrl]

1) нет пересечений (a=-2, R=0.1)

2) одно касание (a=-1.1*sqrt(2),R=0.2)

3) два симметричных касания (a=-10, R надо подбирать. Примерно 9.8)

4) две пары симметричных пересечений (a=-10, R=10)

5) два симметричных пересечения + одно касание (a=-7*sqrt(2), R=12)

6) два симметричных пересечения (a=-10, R=15)



Кажется, все.

[Dark Jedi]

Mrrl

Ну, значит, я сообразил правильно. Спасибки...

[navlarika]

Куда я попала?

Выше нос!